Урок 3. Круги Эйлера

Урок 3. Круги Эйлера

Сегодня мы отправимся в Санкт-Петербург, в одну очень интересную школу. Именно в этом городе жил и открывал тайны математики Леонард Эйлер, один из величайших ученых 18 века. При решении задач, которые перед нами возникнут, мы будем пользоваться кругами Эйлера. Увидите, что благодаря этим замечательным кругам мы даже на очень сложные вопросы найдем ответы. Скоро мы прилетим на берег Невы. Добраться нам поможет добрый друг всех учащихся, Чижик-Пыжик!

Чижик-Пыжик очень маленький, ему не хватит сил перенести нас на такое расстояние в одиночку. Поэтому он позвал своих друзей.

Пример 1. Среди друзей нашего героя есть Чижики, есть Пыжики, а есть Чижики-Пыжики. При этом каждый Чижик-Пыжик считает себя одновременно и Чижиком, и Пыжиком. Всего птичек 8. Чижиков 6, а Пыжиков 4. Сколько тогда Чижиков-Пыжиков?

Решение

Ответить на вопрос нам поможет рисунок. Нарисуем 8 точек — это 8 птичек.

Теперь обведем в красный круг тех шестерых, кто является Чижиками, а в синий — тех четверых, кто является Пыжиками. Как видим, 2 пташки оказались и в синем, и в красном круге. Получается, что как раз они и есть Чижики-Пыжики.

Ответ: 2

Вы успешно справились с задачей? Тогда в путь! Держитесь крепко, но не дергайте птичек за крылья.

Вот мы и прилетели на берег Невы. Какая красота! Чижик-Пыжик начал экскурсию по городу с Ленинградского зоопарка — одного из старейших и известнейших зоопарков в истории России. Здесь живут и тигры, и жирафы, и лоси, и бобры, и даже кролики.

Пример 2. Кто не любит кроликов? Кроликов любят все! А кролики любят морковку и капусту. В комфортабельной клетке живет несколько кроликов. Известно, что 6 из них любят морковку, 4 капусту, а 3 кролика любят и то, и другое. Сколько кроликов всего?

Решение

Посчитаем количество кроликов двумя разными способами. Один из них неверный. Подумайте, какой.

Способ 1. Давайте сложим всех кроликов, которые любят капусту и всех кроликов, которые любят морковку. Получим, что тогда всего кроликов 6+4=10. Значит, всего 10 кроликов.

Способ 2. Посмотрим на эту ситуацию с другой стороны: нарисуем зеленый и красный кружки. В зеленый поместим четверых любителей капусты, а в красный — шестерых любителей морковки таким образом, чтобы 3 кролика, которые любят и то, и другое, оказались сразу в двух кружках. Посчитаем всех кроликов. О чудо! Их всего 7!

Почему же ответы не сходятся? Потому что в первом способе мы допустили ошибку: тех трех кроликов, которые любят и капусту и морковку, мы посчитали 2 раза. Поэтому из 10 нам нужно вычесть 3: 6+4-3=7.

Ответ: 7

Покормив кроликов, мы с Чижиком-Пыжиком двинулись дальше. У нас осталось еще немного морковки, поэтому Вы решили предложить ее тигру. Однако наш разумный экскурсовод вовремя отговорил Вас от этой идеи: «Тигр — плотоядное животное, он не ест морковку!».

— А бывают животные, которым нравится и мясо, и морковка?

— Да, конечно. Например медведь, кабан, енот и даже ежик.

Задача 1. В зоопарке живет 100 видов зверюшек. Среди них 80 плотоядных и  65 травоядных. Сколько же тогда среди них всеядных?

— Что, и даже ежики едят мясо?

— Да, но для тебя они не опасны — не бойся. Кстати, вон же они!

Задача 2. На полянке живут 40 ежиков. Каждый ежик любит либо ягодки, либо фрукты, либо и то, и другое. Половина любит ягодки, а 10 ежиков — и то, и другое. Сколько ежиков любит фрукты?

Кушать хочется не только животным, но и людям. Ведь мы уже за сегодня пролетели и протопали очень большое расстояние, а про обед забыли! Денежек с собой мы не взяли — что же делать? Стоим возле магазина со сладостями и пускаем слюнки.

Задача 3. В магазинчике продается попкорн и сладкая вата. У продавщицы что-то не сходится с бухгалтерией. Она узнала, что мы математики и пообещала подарить нам самую вкусную вату, если мы ей поможем. Вчера было продано 25 ведерок попкорна и 38 палок сладкой ваты. Сколько было всего покупателей в магазинчике, если 15 обжор купили и то и другое, а остальные по одной сладости?

Помогли продавщице? Ай да молодцы! Только много сладкого есть вредно. Видели гепардов, антилоп и жирафов? Они знают о вреде конфет, шоколадок и тортиков, поэтому предпочитают здоровую свежую пищу — вырастают большими, быстрыми и сильными. Подумайте только — гепард может бежать со скоростью 130 км/ч! Вы его далеко не на любой машине сможете обогнать.

Мы двигались по направлению к выходу, как вдруг солнце, светившее с самого утра, спряталось за тучу — небо стало хмурым. Как бы не пошел дождик, ведь зонтики остались дома! Чижик-Пыжик был крайне удивлен нашей непредусмотрительности: «Вы что! Это же Санкт-Петербург! У нас же не больше 60-ти солнечных дней в году.»

Задача 4. В городе мы пробудем 25 дней, а прогноз погоды знаем только на первые 23 дня пребывания. Дни могут быть солнечными, пасмурными, либо с переменной облачностью. Дни с переменной облачностью являются одновременно и солнечными, и пасмурными. Прогноз погоды говорит нам, что за 23 дня 15 будут солнечными, а 14 пасмурными. Какое максимальное количество дней нашей командировки (командировка длится 25 дней) могут идти дожди? Естественно, что для дождика нужны тучки.

Кстати, тучки могут перемещаться по небу — ветер гоняет их подобно тому, как течение реки несет плот или маленький кораблик. Но облака, конечно, не похожи на кораблики. Они больше напоминают овечек или слоников. Облака любят летать из одного города в другой, выбирая, в каком из них пролиться дождиком.

Задача 5. Среди компании кучевых облаков 20 побывали в Санкт-Петербурге, 15 в Новосибирске и 15 в Пскове. И В Санкт-Петербурге, и Новосибирске их побывало семеро, в Санкт-Петербурге и Пскове — 5, во всех трёх городах побывали 3 облака. Сколько «дождевых овечек» (это мы так называем облака) посетили и Новгород, и Псков, если всего в компании 30 тучек, и каждая из них побывала хотя бы в одном городе из названных?

Мы рады, что тучки любят путешествовать. Очень надеемся, что они погуляют подольше и не будут проливаться на нас. Отправимся же в место, ради которого мы сюда прилетели — «Школу наук Чижиков».

Задача 6. В школе наук есть 3 направления учебы: писчание, червекопание и долголетание. Известно, что в школе ровно 100 учеников. Писком занимаются 30 юных чижей, копают червей — 40, а долго летать умеют только 50. При этом оказалось, что 40 учеников обладают ровно двумя навыками из перечисленных (то есть, кто-то из них пищит и копает червей, кто-то пищит и хорошо летает, а кто-то хорошо летает и копает червей), а 10 отличников умеют делать все. Сколько в школе чижиков двоечников, которые не проявили себя ни в одном направлении?

В школе наук очень весело и интересно. Думаю, за предстоящие 2 недели мы узнаем много полезного и научимся решать больше задач. Уже в первый день мы нашли много новых пернатых друзей. 

Задача 7. Известно, что каждый одиннадцатый чижик – наш друг, а каждый пятнадцатый наш друг — чижик. Кого больше — друзей или чижиков?

Передавайте привет Чижику-Пыжику и его друзьям с Невы!

 

К списку уроков для 3-4 классов

Урок 2. Таблицы

Урок 4. Переливания